Liczby wymierne to takie liczby, które da się zapisać w postaci ułamka zwykłego, czyli licznika i mianownika przedzielonego kreską. Oznaczmy ułamek jako a/b, gdzie a nazwiemy licznikiem, b mianownikiem. Należy pamiętać, że a i b muszą być liczbami całkowitymi.
Skoro już wiemy co to jest liczba wymierna, poznajmy jej własności oraz jak się je mnoży i dodaje. Odejmowanie i dzielenie zostawmy do samodzielnej dedukcji, co nie jest trudne, gdy uświadomimy sobie, że są to działania odwrotne do mnożenia i dodawania.
Pierwszą zasadą jest, że każdą liczbę całkowitą da się zapisać w postaci takiego ułamka, więc zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych.
Po drugie zbiór liczb wymiernych jest zbiorem gęsty i przeliczalny. Wyjaśnijmy sobie te pojęcia.
Gęstość oznacza, że pomiędzy dowolne dwie liczby wymierne, które są różne od siebie można wstawić jakąś liczbę pośrednią. Na przykład między 1/3 a 2/3 można wstawić liczbę (1/3 + 2/3)/2 itp. Zbiór liczb całkowitych nie ma tej własności, np. między 1 i 2 w zbiorze liczb całkowitych nic nie występuje.
Przeliczalność oznacza możliwość przeliczenia liczb wymiernych liczbami naturalnymi. Pomimo występującej własności gęstości, te zbiory są równoliczne.
Przejdźmy do mnożenia. Dobrym przykładem dla zrozumienia tego procesu jest tabliczka czekolady. Powiedzmy, że w standardzie składa się ona z czterech kostek wszerz i ośmiu wzdłuż, czyli 8 wierszy i 4 kolumn. Kiedy chcemy poczęstować się dwiema kostkami, wówczas wybieramy na przykład 1/8 wierszy i 2/4 kolumn. Jeśli czekolada ma 32 kostki i założymy, że ma jednostkę powierzchni, to dwie kostki stanowią 2/32 jednostki powierzchni, a otrzymujemy to mnożąc 1/8 część wierszy przez 2/4 część kolumn, więc przepis na to jak się mnoży ułamki w tym przykładzie polega na przemożeniu liczników przez liczniki, a mianowników przez mianowniki.
Weźmy teraz pod uwagę dodawanie. W tym celu wyobraźmy sobie tort. Jeśli mamy 5 równych kawałków, przykładowe dziewczynki Asia, Ania i Magda wezmą odpowiednio po 1,2 i 2 kawałki, zjedzą całość, czyli 1/5 + 2/5 + 2/5 = 5/5 = 1. Dodajemy same liczniki. Mianownik musi być ten sam.
To by były podstawowe informacje teoretyczne i praktyczne na temat ułamków.
